probability – Distribución marginal de una variable aleatoria normal con una media normal

Pregunta:

Tengo una pregunta sobre el cálculo de la densidad condicional de dos distribuciones normales. Tengo variables aleatorias $ X | M \ sim \ text {N} (M, \ sigma ^ 2) $ y $ M \ sim \ text {N} (\ theta, s ^ ​​2) $ , con densidades condicionales y marginales dadas por:

$$ \ begin {ecuación} \ begin {alineado} f (x | m) & = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} { 2} \ Big (\ frac {xm} {\ sigma} \ Big) ^ 2 \ Big), \\ [10pt] f (m) & = \ frac {1} {s \ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ Big (\ frac {m- \ theta} {s} \ Big) ^ 2 \ Big). \ end {alineado} \ end {ecuación} $$

Me gustaría conocer la distribución marginal de $ X $ . He multiplicado las densidades anteriores para formar la densidad conjunta, pero no puedo integrar con éxito el resultado para obtener la densidad marginal de interés. Mi intuición me dice que esta es una distribución normal con diferentes parámetros, pero no puedo probarlo.

Respuesta:

Su intuición es correcta: la distribución marginal de una variable aleatoria normal con una media normal es de hecho normal. Para ver esto, primero reestructuramos la distribución conjunta como un producto de las densidades normales completando el cuadrado :

$$ \ begin {ecuación} \ begin {alineado} f (x, m) & = f (x | m) f (m) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ Big [\ Big (\ frac {xm} {\ sigma} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {m- \ theta} {s } \ Big) ^ 2 \ Big] \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ Big [\ Big (\ frac {1} {\ sigma ^ 2} + \ frac {1} {s ^ 2} \ Big) m ^ 2 -2 \ Big (\ frac {x} {\ sigma ^ 2} + \ frac {\ theta} {s ^ 2} \ Big) m + \ Big (\ frac {x ^ 2} {\ sigma ^ 2} + \ frac {\ theta ^ 2} {s ^ 2} \ Big) \ Big ] \ Grande) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big [ (s ^ 2 + \ sigma ^ 2) m ^ 2 -2 (xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2) m + (x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2) \ Big] \ Grande) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big [m ^ 2 -2 \ cdot \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ cdot m + \ frac {x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big] \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Grande (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m – \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2 } \ Big) ^ 2 \ Big) \\ [6pt] & \ quad \ quad \ quad \ text {} \ times \ exp \ Big (\ frac {(xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2 (s ^ 2 + \ sigma ^ 2)} – \ frac {x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m – \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) ^ 2 \ Big) \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ frac {(x- \ theta) ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \\ [10pt] & = \ sqrt {\ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ pi \ sigma ^ 2 s ^ 2}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m – \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) ^ 2 \ Big) \\ [6pt] & \ quad \ times \ sqrt {\ frac {1 } {2 \ pi (s ^ 2 + \ sigma ^ 2)}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ frac {(x- \ theta) ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \\ [10pt] & = \ text {N} \ Big (m \ Big | \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2}, \ frac {s ^ 2 \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \ cdot \ text {N} (x | \ theta, s ^ ​​2 + \ sigma ^ 2). \ end {alineado} \ end {ecuación} $$

Luego integramos $ m $ para obtener la densidad marginal $ f (x) = \ text {N} (x | \ theta, s ^ ​​2 + \ sigma ^ 2) $ . En este ejercicio vemos que $ X \ sim \ text {N} (\ theta, s ^ ​​2 + \ sigma ^ 2) $ .

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