regression – ¿Existe una generalización del rastro de Pillai y del rastro de Hotelling-Lawley?

Pregunta:

En el marco de la regresión múltiple multivariante (regresor vectorial y regresiva), las cuatro pruebas principales para la hipótesis general (Lambda de Wilk, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley y la raíz más grande de Roy) dependen todas de los valores propios de la matriz $ HE ^ {-1} $, donde $ H $ y $ E $ son las matrices de variación 'explicada' y 'total'.

Me di cuenta de que las estadísticas de Pillai y Hotelling-Lawley se podían expresar como $$ \ psi _ {\ kappa} = \ mbox {Tr} \ left (H \ left [\ kappa H + E \ right] ^ {- 1} \ right), $$ para, respectivamente, $ \ kappa = 1, 0 $. Estoy viendo una aplicación donde la distribución de esta traza, definida para los análogos de población de $ H $ y $ E $, es de interés para el caso $ \ kappa = 2 $. (errores de módulo en mi trabajo). Tengo curiosidad por saber si existe alguna unificación conocida de las estadísticas de muestra para $ \ kappa $ general, o alguna otra generalización que capture dos o más de las cuatro pruebas clásicas. Me doy cuenta de que para $ \ kappa $ que no es igual a $ 0 $ o $ 1 $, el numerador ya no parece un Chi-cuadrado debajo del nulo, por lo que una aproximación de F central parece cuestionable, por lo que tal vez este sea un callejón sin salida.

Espero que haya habido alguna investigación sobre la distribución de $ \ psi _ {\ kappa} $ bajo el valor nulo ( es decir, la verdadera matriz de coeficientes de regresión es cero) y bajo la alternativa. Estoy particularmente interesado en el caso $ \ kappa = 2 $, pero si hay trabajo en el caso general $ \ kappa $, podría, por supuesto, usarlo.

Respuesta:

Me imagino que las generalizaciones productivas resultarían de observaciones que

  1. algunas de estas pruebas son normas del vector $ {\ rm spec} [HE ^ {- 1}] = \ {\ lambda_1, \ ldots, \ lambda_p \} $, por lo que la traza de Hotelling-Lawley es la norma $ l_1 $, $ \ | \ {\ lambda_1, \ ldots, \ lambda_p \} \ | _1 $, y la raíz más grande de Roy es la norma $ l_ \ infty $, $ \ | \ {\ lambda_1, \ ldots, \ lambda_p \} \ | _ \ infty $.
  2. algunas de estas pruebas pueden ser una norma de la matriz $ HE ^ {- 1} $, por ejemplo, la raíz más grande de Roy es la norma espectral, o $ l_2 $, $ \ | HE ^ {- 1} \ | _2 $.
  3. algunas de las pruebas pueden ser de la forma de entropía generalizada , por ejemplo, la traza de Hotelling-Lawley es GE (1), la raíz más grande de Roy es GE ($ \ infty $) y el $ \ Lambda $ de Wilks es GE (-1) en $ \ {1+ \ lambda_1, \ ldots, 1+ \ lambda_p \} $, hasta una transformación monótona cada uno.

Cuando se consideran otras normas u otros parámetros de entropía generalizada, se puede llegar a otras estadísticas que podrían ser significativas. Sin embargo, dudo que alguno de ellos produzca su $ \ psi_2 $.

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