Pregunta:
Dado el siguiente modelo jerárquico, $$ X \ sim {\ mathcal N} (\ mu, 1), $$ y, $$ \ mu \ sim {\ rm Laplace} (0, c) $$ donde $ \ mathcal { N} (\ cdot, \ cdot) $ es una distribución normal. ¿Hay alguna manera de obtener una expresión exacta para la información de Fisher de la distribución marginal de $ X $ dado $ c $? Es decir, ¿cuál es la información de Fisher de: $$ p (x | c) = \ int p (x | \ mu) p (\ mu | c) d \ mu $$ Puedo obtener una expresión para la distribución marginal de $ X $ dado $ c $, pero diferenciar wrt $ c $ y luego tomar expectativas parece muy difícil. ¿Me estoy perdiendo algo obvio? Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuesta:
No existe una expresión analítica de forma cerrada para la información de Fisher para el modelo jerárquico que proporciona. En la práctica, la información de Fisher solo se puede calcular analíticamente para distribuciones de familias exponenciales. Para familias exponenciales, la probabilidad logarítmica es lineal en las estadísticas suficientes y las estadísticas suficientes tienen expectativas conocidas. Para otras distribuciones, la probabilidad logarítmica no se simplifica de esta manera. Ni la distribución de Laplace ni el modelo jerárquico son distribuciones familiares exponenciales, por lo que una solución analítica será imposible.