monte-carlo – Integración Monte Carlo para funciones integrables no cuadradas

Pregunta:

Espero que este sea el lugar adecuado para preguntar, si no, siéntase libre de moverlo a un foro más apropiado.

Me he estado preguntando durante bastante tiempo cómo tratar las funciones integrables no cuadradas con la integración de Monte Carlo. Sé que MC todavía da una estimación adecuada, pero el error es irrealizable (¿divergente?) Para ese tipo de funciones.

Limitémonos a una dimensión. La integración de Monte Carlo significa que aproximamos la integral

$$ I = \ int_0 ^ 1 \ mathrm {d} x \, f (x) $$

usando la estimación

$$ E = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ N f (x_i) $$

con $ x_i \ en [0,1] $ puntos aleatorios distribuidos uniformemente. La ley de los números grandes asegura que $ E \ approx I $. La varianza de la muestra

$$ S ^ 2 = \ frac {1} {N-1} \ sum_ {i = 1} ^ N (f (x_i) – E) ^ 2 $$

aproxima la varianza $ \ sigma ^ 2 $ de la distribución inducida por $ f $. Sin embargo, si $ f $ no es integrable al cuadrado, es decir, la integral de la función al cuadrado diverge, esto implica

$$ \ sigma ^ 2 = \ int_0 ^ 1 \ mathrm {d} x \, \ left (f (x) – I \ right) ^ 2 = \ int_0 ^ 1 \ mathrm {d} x \, f ^ 2 ( x) – I ^ 2 \ longrightarrow \ infty $$

lo que significa que también la varianza diverge.

Un ejemplo simple es la función

$$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {x}} $$

para lo cual $ I = \ int_0 ^ 1 \ mathrm {d} x \, \ frac {1} {\ sqrt {x}} = 2 $ y $ \ sigma ^ 2 = \ int_0 ^ 1 \ mathrm {d} x \ , \ left (\ frac {1} {x} – 2 \ right) = \ left [\ ln x – 2x \ right] _0 ^ 1 \ rightarrow \ infty $.

Si $ \ sigma ^ 2 $ es finito, se puede aproximar el error de la media $ E $ por $ \ frac {S} {\ sqrt {N}} \ approx \ frac {\ sigma} {\ sqrt {N}} $ , pero ¿qué pasa si $ f (x) $ no es integrable en cuadrados?

Respuesta:

Puede usar otras medidas de escala / dispersión, como el rango intercuantílico, que no se ven afectadas por las asintóticas de cola y, por lo tanto, la integrabilidad del cuadrado. Con el beneficio adicional de que a menudo son en general más robustos de todos modos.

Obviamente, se deben aplicar a un remuestreo / bootstrap seguido del estimador medio, no directamente solo a la salida sin procesar del muestreo MC de la función antes de promediar. También puede verificar los estimadores L generales y adaptar uno de ellos para fusionar estos dos pasos en uno para el rendimiento, pero mentalmente las dos distribuciones no deben confundirse, aunque el PDF del estimador heredará naturalmente algunas características (incluidas tal vez la falta de cuadrados integrabilidad).

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