mathematical-statistics – ¿Las estadísticas no son matemáticas?

Pregunta:

¿Las estadísticas son matemáticas o no?

Dado que son todos números, en su mayoría enseñados por los departamentos de matemáticas y obtienes créditos de matemáticas por ello, me pregunto si la gente lo dice medio en broma cuando lo dice, como decir que es una parte menor de las matemáticas, o simplemente matemáticas aplicadas.

Me pregunto si algo como las estadísticas, donde no se puede construir todo sobre axiomas básicos, puede considerarse matemático. Por ejemplo, el valor $ p $, que es un concepto que surgió para dar sentido a los datos, pero no es una consecuencia lógica de principios más básicos.

Respuesta:

Las matemáticas tratan con abstracciones idealizadas que (casi siempre) tienen soluciones absolutas, o el hecho de que no exista tal solución generalmente se puede describir completamente. Es la ciencia de descubrir consecuencias complejas pero necesarias a partir de axiomas simples.

La estadística usa matemáticas, pero no son matemáticas. Son conjeturas fundamentadas. Es un juego de azar.

La estadística no se ocupa de abstracciones idealizadas (aunque utiliza algunas como herramientas), se ocupa de fenómenos del mundo real. Las herramientas estadísticas a menudo hacen suposiciones simplificadoras para reducir los desordenados datos del mundo real a algo que se ajuste al dominio del problema de una abstracción matemática resuelta. Esto nos permite hacer conjeturas fundamentadas, pero eso es todo lo que son las estadísticas: el arte de realizar conjeturas muy bien informadas.

Considere la posibilidad de probar hipótesis con valores p. Digamos que estamos probando alguna hipótesis con significancia $ \ alpha = 0.01 $, y después de recopilar datos encontramos un valor p de $ 0.001 $. Entonces rechazamos la hipótesis nula a favor de una hipótesis alternativa.

Pero, ¿cuál es realmente este valor p? ¿Cuál es el significado? Nuestro estadístico de prueba se desarrolló de manera que se ajustara a una distribución particular, probablemente la t de Student. Bajo la hipótesis nula, el percentil de nuestro estadístico de prueba observado es el valor p. En otras palabras, el valor p da la probabilidad de que obtengamos un valor tan lejos de la expectativa de la distribución (o más) como el estadístico de prueba observado. El nivel de significancia es una regla de corte bastante arbitraria: establecerlo en $ 0.01 $ es equivalente a decir, "es aceptable si 1 de cada 100 repeticiones de este experimento sugiere que rechazamos el nulo, incluso si el nulo es de hecho verdadero . "

El valor p nos da la probabilidad de que observemos los datos disponibles dado que el nulo es verdadero (o más bien, volviéndose un poco más técnico, que observamos datos bajo la hipótesis nula que nos da al menos un valor tan extremo de la estadística probada como la que encontramos). Si vamos a rechazar el nulo, entonces queremos que esta probabilidad sea pequeña, que se acerque a cero. En nuestro ejemplo específico, encontramos que la probabilidad de observar los datos que recopilamos si la hipótesis nula fuera cierta era solo $ 0.1 \% $, por lo que rechazamos la nula. Esta fue una suposición fundamentada. En realidad, nunca sabemos con certeza que la hipótesis nula es falsa usando estos métodos, que acabamos de desarrollar una medida de la fuerza con nuestra evidencia apoya la alternativa.

¿Usamos matemáticas para calcular el valor p? Seguro. Pero las matemáticas no nos dieron nuestra conclusión. Basándonos en la evidencia, nos formamos una opinión informada, pero sigue siendo una apuesta. Hemos descubierto que estas herramientas son extremadamente efectivas durante los últimos 100 años, pero la gente del futuro puede sorprenderse con horror ante la fragilidad de nuestros métodos.

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