correlation – ¿Puedo usar el método Cholesky para generar variables aleatorias correlacionadas con la media dada?

Pregunta:

Quiero generar variables aleatorias correlacionadas con una matriz de correlación, medias y varianzas dadas. ¿La descomposición de Cholesky solo funciona cuando las variables aleatorias iniciales son iids con la misma media y varianza?

Respuesta:

Sean Z variables aleatorias no correlacionadas normalmente distribuidas con media 0 y varianza 1. Esto significa $$ Z \ sim N \ left (0, I \ right) $$ Si realiza una transformación afín $$ X \ equiv A + BZ $$ entonces $ X $ tiene una distribución $$ X \ sim N \ left (A, BB '\ right) $$ En nuestro caso, queremos $ BB' = \ Sigma $, por lo que aplicar la descomposición cholesky a $ \ Sigma $ es una forma de encontrar un $ B $ adecuado. Por lo tanto, para simular desde $ X \ sim N \ left (\ mu, \ Sigma \ right) $, simularía $ Z $, establecería $ A = \ mu $ y $ B = chol (\ Sigma) $, y aplicaría la transformación de arriba.

Entonces, para responder a su pregunta, las variables no correlacionadas de media 0 y varianza 1 se pueden transformar en distribuciones normales multivariadas genéricas mediante el uso de transformaciones afines, según el vector medio y la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianza. Así es como funcionan generalmente los generadores de números aleatorios normales multivariados.

Para abordar su otro punto en los comentarios, suponga que simula $ Z $ y realiza una transformación $$ Y \ equiv chol (C) Z $$ de modo que $ Y \ sim N (0, C) $. Aún puede llegar a $ X $ desde $ Y $. Como mencioné en los comentarios, puede hacer esto fácilmente multiplicando las distribuciones univariadas por las desviaciones estándar respectivas y agregando la media respectiva.

Más formalmente, puede considerar esta otra transformación afín $$ X \ equiv A + SY $$ Sin embargo, dado que $ Y $ no está correlacionado, la transformación afín daría $$ X \ sim N \ left (A, SCS '\ right ) $$ En este caso, para obtener $ SCS '= \ Sigma $, necesitaría establecer $ S $ igual a una matriz con las desviaciones estándar en la diagonal y ceros en otra parte. Esto equivale a aplicar las transformaciones de forma univariante.

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