¿Qué métodos pueden garantizar que las cantidades físicas sigan siendo positivas a lo largo de una simulación de PDE?

Pregunta:

Las cantidades físicas como presión, densidad, energía, temperatura y concentración siempre deben ser positivas, pero los métodos numéricos a veces calculan valores negativos durante el proceso de solución. Esto no está bien porque las ecuaciones calcularán valores complejos o infinitos (normalmente bloqueando el código). ¿Qué métodos numéricos se pueden utilizar para garantizar que estas cantidades sigan siendo positivas? ¿Cuál de estos métodos es más eficaz?

Respuesta:

El método más común es restablecer los valores negativos a un número pequeño y positivo. Por supuesto, esta no es una solución matemáticamente sólida. Un mejor enfoque general que puede funcionar y es fácil es reducir el tamaño de su paso de tiempo.

Los valores negativos surgen a menudo en la solución de PDE hiperbólicas, porque la aparición de choques puede conducir a oscilaciones, que tenderán a crear valores negativos si existen estados de casi vacío cerca del choque. El uso de un método de disminución de variación total (TVD) u otro método no oscilatorio ( ENO, WENO ) puede reducir esta tendencia. Estos métodos se basan en el uso de limitadores no lineales para calcular las derivadas de la solución. Sin embargo, aún puede obtener valores negativos por varias razones:

  • Si usa el método de líneas y aplica un integrador de tiempo de orden superior. La mayoría de los esquemas de TVD son probablemente TVD solo en el sentido semidiscreto o con el método de Euler. Para una integración de tiempo de orden superior, debe utilizar una discretización de tiempo de preservación de estabilidad fuerte (SSP) ; estos esquemas también se conocen como "contractivos" o "preservadores de la monotonicidad". Hay un libro reciente sobre el tema de Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu y yo.
  • Si no usa la descomposición de características locales para sistemas de ecuaciones, su solución no será TVD (los esquemas TVD solo poseen esa propiedad para problemas escalares). Por lo tanto, es mejor reconstruir / interpolar en variables características.
  • Si tiene un sistema no lineal, pueden surgir valores negativos incluso si utiliza la descomposición de características locales. Por ejemplo, se puede demostrar que cualquier solucionador de Riemann linealizado (como un solucionador de Roe) para las ecuaciones de aguas poco profundas o las ecuaciones de Euler genera valores negativos en condiciones suficientemente desafiantes. Una solución es utilizar un solucionador de HLL (o una variante de HLL); algunos de ellos son demostrablemente positivos.
  • Los esquemas de TVD son sólo de segundo orden; Los esquemas no oscilatorios de orden superior como WENO no satisfacen estrictamente TVD o principios máximos. Pero una nueva modificación de esos esquemas de alto orden sí lo hace; está desarrollado en varios artículos recientes por Xiangxiong Zhang (un estudiante de Chi-Wang Shu).

Por supuesto, existen muchos otros enfoques especializados para ecuaciones particulares, como en el código GeoClaw de David George, que utiliza un solucionador de Riemann con ondas extra no físicas para reforzar la positividad.

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