distributions – suma de variables aleatorias chi-cuadrado no central

Pregunta:

Necesito encontrar la distribución de la variable aleatoria $$ Y = \ sum_ {i = 1} ^ {n} (X_i) ^ 2 $$ donde $ X_i \ sim {\ cal {N}} (\ mu_i, \ sigma ^ 2_i) $ y todos los $ X_i $ s son independientes. Sé que es posible encontrar primero el producto de todas las funciones generadoras de momento para $ X_i $ s, y luego volver a transformar para obtener la distribución de $ Y $. Sin embargo, me pregunto si existe una forma general para $ Y $ como el caso gaussiano: sabemos que la suma de gaussianos independientes sigue siendo gaussiana y, por lo tanto, solo necesitamos conocer la media sumada y la varianza sumada.

¿Qué tal todos los $ \ sigma ^ 2_i = \ sigma ^ 2 $? ¿Será esta condición una solución general?

Respuesta:

Como señaló Glen_b en los comentarios, si las variaciones son todas iguales, terminará con un chi cuadrado no central escalado.

Si no es así, existe el concepto de una distribución chi-cuadrado generalizada , es decir, $ x ^ TA x $ para $ x \ sim N (\ mu, \ Sigma) $ y $ A $ fijos. En este caso, tiene el caso especial de la diagonal $ \ Sigma $ ($ \ Sigma_ {ii} = \ sigma_i ^ 2 $) y $ A = I $.

Ha habido algunos trabajos para computar cosas con esta distribución:

También puede escribirlo como una combinación lineal de variables chi-cuadrado independientes no centrales $ Y = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sigma_i ^ 2 \ left (\ frac {X_i ^ 2} {\ sigma_i ^ 2} \ right ) $, en cuyo caso:

Bausch (2013) proporciona un algoritmo más eficiente desde el punto de vista computacional para la combinación lineal de chi-cuadrado centrales; su trabajo puede ser extensible a chi-cuadrado no central, y puede encontrar algunos consejos interesantes en la sección de trabajo relacionada.

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