linear-algebra – ¿Tratando con la inversa de una matriz simétrica (covarianza) definida positiva?

Pregunta:

En estadística y sus diversas aplicaciones, a menudo calculamos la matriz de covarianza , que es definida positiva (en los casos considerados) y simétrica, para diversos usos. A veces, necesitamos la inversa de esta matriz para varios cálculos (formas cuadráticas con esta inversa como la (única) matriz central, por ejemplo). Dadas las cualidades de esta matriz y los usos previstos, me pregunto:

¿Cuál es la mejor manera, en términos de estabilidad numérica, de calcular o usar (digamos para formas cuadráticas o multiplicación matriz-vector en general) esta inversa? ¿Alguna factorización que pueda ser útil?

Respuesta:

La factorización de Cholesky $ C = R ^ TR $ conduce a una factorización similar a Cholesky de la inversa $ C ^ {- 1} = SS ^ T $ con la matriz triangular superior $ S = R ^ {- 1} $.

En la práctica, es mejor mantener el factor inverso. Si $ R $ es escaso, por lo general es incluso mejor mantener implícito $ S $, ya que los productos matriz-vector $ y = C ^ {- 1} x $ pueden calcularse resolviendo los dos sistemas triangulares $ R ^ Tz = x $ y $ Ry = z $.

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